Pierwiastek to operator, który działając na liczbę znajduje taką wartość, gdzie pewna ilość równych tej wartości czynników, pomnożonych przez siebie dają tę liczbę. Ilość tych czynników zależy od stopnia pierwiastka.
Pierwiastkowanie będziemy oznaczać w komputerowej notacji sqrt(a), gdzie a to zmienna pierwiastkowana. Stopień będziemy zakładać bez zapisu w notacji symbolicznej. Odwrotnością jest potęgowanie, które będziemy oznaczać c^b – co czytamy „c do potęgi b” (c i b to zmienne).
Jak dodawać pierwiastki?
Przyjrzyjmy się pierwszemu podstawowemu działaniu, czyli jak dodawać pierwiastki. Otóż sqrt(a) i sqrt(b) nie da się do siebie dodać, jeśli a jest różne od b. Jak dodawać pierwiastki takie same? Nic prostszego! Zapisujemy: sqrt(a) + sqrt(a) = 2*sqrt(a), gdzie „*” to działanie mnożenia. Oczywiście stopień pierwiastków musi być taki sam.
Analogicznie sprawa się ma z odejmowaniem.
Mnożenie pierwiastków
Więcej ciekawostek związanych jest z mnożeniem. Po pierwsze zobaczmy, że jeśli mamy n czynników, a stopień pierwiastka to m, gdzie m<n, m wśród tych czynników możemy spierwiastkować, zostawiając pod pierwiastkiem n – m czynników (tutaj „-” oznacza minus). Podstawmy n=7, m=4, czynniki oznaczmy literą a. sqrt(a*a*a*a*a*a*a). Przy założeniu, że stopień tego pierwiastka to 4 sqrt(a*a*a*a) = a, a sqrt(a*a*a*a*a*a*a) = a*sqrt(a^3). Tym samym dochodzimy do konkluzji sqrt(u)*sqrt(t) = sqrt(u*t), gdzie u i t to nowe zmienne, a stopnie pierwiastków są takie same. Jest to rozdzielność pierwiastkowania względem mnożenia.
Przy dodawaniu już taka sytuacja nie występuje. A tutaj zachodzi ponieważ żadne z tych działań – pierwiastkowanie i potęgowanie – nie jest ważniejsze. Prawdą jest, że sqrt(u^n) =(sqrt(u))^n, więc w podanym wcześniej przykładzie sqrt(a^7) (stopień pierwiastka przypominamy 4) mamy (sqrt(a))^7 = (sqrt(a))^(4+3) = ((sqrt(a))^4)*((sqrt(a))^3) z własności potęgowania. Dzielenie, jak się można domyślić, jest analogiczne do mnożenia. Opisałam więc podstawowe działania na pierwiastkach, takie jak dodawanie oraz mnożenie. Podobne rozważania dla odejmowania i dzielenia zostawiam do samodzielnego przeanalizowania.
